极限定义的几何解释
若要求$N$
则需解$|a_n-a|< \varepsilon \leftrightarrow a_n \in (a-\varepsilon,a+\varepsilon)$
$\uparrow 关于a对称的\varepsilon 邻域$
极限的定义2
$设a\in R,\varepsilon >0,称 （a-\varepsilon,a+\varepsilon)为a的\varepsilon-邻域$
$a成为邻域的中心,\varepsilon叫邻域的半径$
$可称为以a为心,以\varepsilon 为半径的邻域$
==该邻域必须是开区间==
$在a的\varepsilon-邻域外只有有限多项$
例一
$a_n=\frac{1}{n},n=1,2,3……$
证明：$0=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
分析
设$\varepsilon >0$,(对任意给定的$\varepsilon$,都能找出$N$)
$|a_n-0|=\frac{1}{n}<\varepsilon,n\ge N$
$n>\frac{1}{\varepsilon}$
$n=[\frac{1}{\varepsilon}]+1$(至少应取)
* 对于两种定义，$n>N和n\ge N$是等价的
证明
$设\varepsilon >0$
$令N=[\frac{1}{\varepsilon}]$
$则当n\ge N 时$
$|a_n-0|= \frac{1}{n}\le \frac{1}{N}$
$\because N\ge \frac{1}{\varepsilon}$
$\therefore |a_n-a|< \frac{1}{1/\varepsilon}=\varepsilon$
$\therefore |a_n-0|<\varepsilon,\forall n\ge N$
$\therefore 0=\lim\limits_{n\to\infty}a_n \Box$
命题
$设a_n,a\in R,n=1,2…..设c>0为常数 $
$如果\forall \varepsilon>0，\exists N\in N^*,s.t.$
$|a_n-a|\le c\varepsilon,\forall n\ge N$
则$a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
证明
$如果\forall \sigma>0,\exists N\in N*,s.t.$
$|a_n-a|<\sigma，\forall n\ge N$
$则a=\lim\limits_{n\to \infty}a_n$
$设\sigma>0$
$设\varepsilon=\frac{\sigma}{2c}$
$由已知，\exists N\in N^*,s.t.$
$|a_n-a\le c\varepsilon=\frac{c\varepsilon}{2c}=\frac{\sigma}{2}<\sigma,\forall n\ge N$
$\therefore$
$|a_n-a|<\sigma,\forall n\ge N$
$\therefore a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
命题
$设a_n,b_n\in R,n=1,2,…满足$
$a_n=b_n,\forall n \ge k,n \in N^*$
$其中k\in N^* 为常熟$
$如果a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
$则a=\lim\limits_{n\to\infty}b_n$
如果有两个数列从某一项开始相等，则两个数列的极限相同、
数列的极限与前面的项无关
证明
$设 \varepsilon >0$
$由于 a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n,所以\exists N_1\in N^*,s.t.$
$|a_n-a|<\varepsilon, \forall n\ge N,n\in N$
$令N’=max\{N_1,k\},则当n\ge N时$
$|b_n-a|=|a_n-a|<\varepsilon\Box$
几个常用极限
1.$\frac{1}{n^{\alpha}}\rightarrow 0,其中\alpha>0为常数$
2.$q^n\rightarrow 0,其中|q|<1$
3.$\sqrt[n]{n}\rightarrow 1$
对第三个的分析和证明
$\sqrt[n]{n-1}=\sqrt[n]{n}<\varepsilon$
$\sqrt[n]{n}<1+\varepsilon$
$\frac{\ln{n}}{n}<\ln(1+\varepsilon)$
$\because \frac{\ln{n}}{n}\to 0$
$\therefore \exists N\in N^*,s.t.$
$\frac{\ln{n}}{n}<\ln{(1+\varepsilon)}$
定义三
$设a_n \in R ,n=1,2\cdots$
$如果\exists a \in R ,s.t. a=\lim\limits_{n\to\infty}a_n$
$称\{a_n\}收敛$
定义四
$如果\{a_n\}不收敛,称\{a_n\}发散$
* 收敛$\leftrightarrow 有极限$